home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.1p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  7.7 KB  |  352 lines
  1. à 1.1 Basic Defïitions
  2.  
  3. äèèDetermïe if ê followïg is an ordïary or a 
  4. èèèèèèèèpartial differential equation.
  5.  
  6. â    dìyèèèè dy
  7.     ─── + sï[x]── - 6yì = 3e╣ is an ordïary differential equation.
  8.     dxìèèèè dx
  9.     
  10.     è ┤║uèè ┤║u
  11.     a║ ───è=è───èis a partial differential equation.
  12.     è ┤x║èè ┤t║
  13.  
  14. éSèA DIFFERENTIAL EQUATION is any equation that contaïs at least
  15. one derivative.èThis derivative may be eiêr a ëtal derivative ç
  16. a function ç a sïgle variable or it may be a partial derivative ç
  17. a function ç two or more variables.
  18.  
  19.     A differential equation ç a function ç a sïgle variable is
  20. called an ORDINARY differential equation.èExamples are
  21.  
  22. 1)    d║yèèè dy
  23.     ───è-è4 ──è+ 3 yè=è7eú╣
  24.     dx║èèè dx
  25.  
  26. Generally, ê PRIME notation for a derviative will be used so this 
  27. ordïary differential equation could also be written
  28.  
  29.     y»» - 4y» + 3y = 7eú╣
  30.  
  31. 2)    2x + y║ + 2xyy» = 0
  32.  
  33. 3)    P(x)y»» + Q(x)y» + R(x)y = 0èwhere P, Q å R are polynomials.
  34.  
  35.     A differential equation that ïvolves a function that has two or
  36. more variables requires partial derivatives å is called a PARTIAL
  37. differential equation.èExamples are
  38.  
  39. 1)        è┤║uèèè┤u
  40.         y ───è- x ──è= 0
  41.          è┤y║èèè┤x
  42.  
  43. Often, partial derivatives can be written by use ç SUBSCRIPTS. This same differential equation would be
  44.             yu╤╤ - xu╨ = 0
  45.  
  46. 2)    a║u╨╨è=èu▌▌èThis is ê wave equation.
  47.  
  48. 3)    u╨╨ + u╤╤ + u╓╓ = 0èThis is LaPlace's equation
  49.  
  50.     This program will only cover techniques for solvïg ordïary 
  51. differential equations.
  52.  
  53.  1    dÄyèèèdìyèèè dy
  54.         ───è- 7 ───è+ 13 ──è- 25 y = tanúî[x] + cosh[3x]
  55.         dxÄèèèdxìèèè dx
  56.  
  57.  
  58.         A)èOrdïary        B)èPartial
  59.  
  60. ü    As all ç ê derivatives are ëtal derivatives, this is an
  61.     ordïary differential equation.
  62.  
  63. Ç    A
  64.  
  65.  2    ┤║uèèèèè ┤║u
  66.         ───è+ (x - y)───è=è0
  67.         ┤x║    èèè┤yì
  68.  
  69.  
  70.         A)èOrdïary        B)èPartial
  71.  
  72. üèThis differential equation contaïs partial derivatives with
  73.     respect ë both x å y meanïg that u is a function ç those
  74.     two variables.èThus this is a partial differential equation.
  75.  
  76. ÇèB
  77.  3
  78. èèèè    u╨╨ + u╤╤ - u╓╓ = 0
  79.  
  80.  
  81.  
  82.         A)èOrdïary        B)èPartial
  83.  
  84. ü    This differential equation contaïs partial derivatives with
  85.     respect ë x, ë y å ë z which means that u is a function
  86.     ç êse three variables.èHence, this is a partial
  87.     differential equation.
  88.  
  89. ÇèB
  90.  4
  91. èèèè     y»» - 3[y»]ì + sï[y] = 0
  92.  
  93.  
  94.         A)èOrdïary        B)èPartial
  95.  
  96. ü    This differential equation only has ëtal derivatives ç ê 
  97.     function y å hence is an ordïary differential equation.
  98.  
  99. Ç    A
  100.  
  101. äèèGive ê order ç ê followïg differential equations.
  102.  
  103. â        y»»» - 5y»» + 7y» - 3y = sï[x]
  104.     has a third derivative as its highest order derivative å 
  105.     hence is ç order 3.
  106.  
  107. éS    There are a number ç ways ç classifyïg differential 
  108. equations.èThe ORDER ç a partial differential equation is defïed as
  109. ê order ç ê highest derivative present ï ê differential
  110. equation.èFor example
  111.  
  112. 1)    dy
  113.     ──è= sï[x]èis a first order differential equaën.
  114.     dx
  115.  
  116. 2)    y»» - 4y» + 3y = e╣èis a second order differential equation.
  117.  
  118. 3)    y»»»» - 16y = 5sï[2x] is a fourth order differential equation.
  119.  5
  120. èèèè     y»»» - 4y»» + y║ = 0
  121.  
  122.         A)èèè1        B)    2
  123.  
  124.         C)    3        D)    4
  125.  
  126.  
  127.  
  128. üèAs a third derivative is present å no higher order derivatives
  129.     are present this is a differential equation ç order 3.
  130.  
  131. Ç     C
  132.  
  133.  6    dyèè2
  134.         ──è+ ─ y = tan[x]
  135.         dxèèx
  136.  
  137.         A)    1        B)    2
  138.  
  139.         C)    3        D)    4
  140.  
  141. ü    The only derivative present is a first derivative so this
  142.     differential equation is ç order 1.
  143.  
  144. Ç    A
  145.  
  146.  7è     èd║xèèè dx
  147.         m ───è+èb ──è +èw║ yè=èF╠cos[w╠t]
  148.         èdt║èèè dt
  149.  
  150.         A)    1        B)    2
  151.  
  152.         C)    3        D)    4
  153.  
  154. ü    This differential equation contaïs both a first å a second
  155.     derviative å so ê order is 2.
  156.  
  157. Ç    B
  158.  
  159.  8    xÄy»» + [y»]É - 9yÅ = xÆ
  160.  
  161.  
  162.         A)    1        B)    2
  163.  
  164.         C)    3        D)    4
  165.  
  166. ü    This differential equation contaïs both a second derivative 
  167.     a first derivative (raised ë ê fifth power).èThus ê 
  168.     highest derivative is ê second å this is ç order 2.
  169.  
  170. ÇèB
  171.  
  172. äèèDetermïe which is a solution ç ê given differential
  173. èèèèèèèèequation.
  174.  
  175. â        For ê differential equation
  176.  
  177.         y»» - 4y» + 3y = 0
  178.  
  179.         y = 2eÄ╣ is a solution
  180.  
  181. éS    A SOLUTION ç a differential equation is any function y = f(x)
  182.     which when substituted ïë ê differential equation produces 
  183.     a true statement.
  184.  
  185.     For example, for ê differential equation
  186.     
  187.     y»» - 4y» + 3y = 0
  188.  
  189.     The functionèy = 4eÄ╣ is a solution as
  190.  
  191.     [4eÄ╣]»» - 4[4eÄ╣]» + 3[4eÄ╣] =
  192.  
  193.     36eÄ╣ - 48eÄ╣ + 12eÄ╣èèèè = 0
  194.  
  195.     It can also be shown that -5e╣ is a solution as is 26.84eÄ╣.
  196.  
  197.     Most differential equations have what is known as a GENERAL
  198.     SOLUTION which contaï one or more (dependïg on ê order)
  199.     arbitrary constants.èThis means that any substituion for ê 
  200.     constants will produce a solution ë ê differential equation.
  201.  
  202.     For ê differential equation
  203.     
  204.     y»» -è4y» + 3y = 0
  205.  
  206.     The general solution is
  207.  
  208.     y = C¬e╣ + C½eÄ╣
  209.  
  210.     The previous solution
  211.     y = 4eÄ╣ fits ïë ê general solution with C¬ = 0 å C½ = 4
  212.     as does ê solution y = -5e╣ with C¬ = -5 å C½ = 0.
  213.  
  214.     Pickïg C¬ = -8 å C½ = 7 produces ê solution 
  215.     y = -8e╣ + 7eÄ╣.
  216.  
  217.  9    dyèè 4
  218.         ──è+è─ yè=èxÄ
  219.         dxèè x
  220.  
  221.         A)    xÄèèè2    B)    xÅèèè2
  222.             ──è-è──        ──è-è──
  223.              8èè xÉ         8èè xÅ
  224.  
  225.         C)    xÉèèè2    D)    All ç ê above
  226.             ──è-è──
  227.              8èè xÄ
  228.  
  229. ü    For y = xÅ/8 - 2xúÅè    y»è =èxÄ/2 + 8xúÉ
  230.                 4y/x =èxÄ/2 - 8xúÉ
  231.     So y» + 4y/x = xÄ å this is a solution.
  232.  
  233. Ç B
  234.  
  235.  10    y»» - 4y»è+ 3y = 0
  236.  
  237.  
  238.         A)    3e╣        B)    -0.25eÄ╣
  239.  
  240.         C)    5e╣ - 4e╣    D)    All ç ê above
  241.  
  242. ü    Consider     yè = C¬e╣ + C½eÄ╣
  243.             y»è= C¬e╣ + 3C½eÄ╣
  244.             y»» = C¬e╣ + 9C½eÄ╣
  245.  
  246.     y»» - 4y» + 3y = C¬e╣ + 9C½eÄ╣ - 4(C¬e╣ + 3C½eÄ╣)
  247.             + 3(C¬e╣ + C½eÄ╣)
  248.         èè = C¬e╣(1 - 4 + 3) + C½e╣(9 - 12 + 3)
  249.         èè = 0
  250.     Thus yè = C¬e╣ + C½eÄ╣ is a general solution ç this 
  251.     differential equation.
  252.  
  253.     Answer A corresponds ë C¬ = 3 å C½ = 0,
  254.     Answer B corresponds ë C¬ = 0 å C½ = -0.25 å
  255.     Answer C corresponds ë C¬ = 5 å C½ = -4.
  256.     Thus all are solutions.
  257.  
  258. Ç D
  259.  
  260. è11    y»» + 6y» + 8yè=è2x + 4
  261.  
  262.         A)    7eúì╣ + 5eúÅ╣ + x/4 + 5/16
  263.  
  264.         B)    7eúì╣ - 5eúÅ╣ + x/4 - 5/16        
  265.  
  266.         C)    -7eúì╣ + 5eúÅ╣ - x/4 + 5/16
  267.  
  268.         D)    -7eúì╣ - 5eúÅ╣ - x/4 - 5/16
  269.  
  270. ü    If     y = 7eúì╣ + 5eúÅ╣ + x/4 + 5/16
  271.  
  272.     èèèy»» =è28eúì╣è+ 80eúÅ╣     
  273.  
  274.     èèè6y» = -84eúì╣ - 120eúÅ╣ + 3/2
  275.  
  276.     èèè 8y =è56eúì╣ +è40eúÅ╣ + 2x + 5/2
  277.  
  278.     Thus y»» + 6y» + 8y = 2x + 4 which shows that this is a
  279.     solution.èThe oêr answers do not produce a solution.
  280.  
  281. Ç A
  282.  
  283. äèèDetermïe if ê followïg differential equation is
  284. èèèèèèèèlïear or non-lïear.
  285. â
  286. èèè         y»» + xy» + e╣y = cosh[x] is lïear.
  287.  
  288.         y»» + [y»]║ + tan[y] = 0èis non-lïear.
  289.  
  290. éS        If a differential equation can be written ï ê form    
  291.  
  292.     a╠(x)yÑⁿª + a¬(x)yÑⁿúî) + ∙∙∙ + a┬▀¬(x)y» + a┬(x)yè=èg(x)
  293.  
  294.     it is a LINEAR differential equation.èIf it cannot be written
  295.     ï this form it is a NON-LINEAR differential equation.
  296.  
  297.     For example
  298.  
  299.     1)è7y»» + x║y» + eú╣y = cot[x] is lïear as ê coefficients
  300.     èèç ê derivatives are functions ç x alone å no
  301.     èèderivative is raised ë any power.
  302.  
  303.     2)èy»» - [y»]Ä + cosh[y] = e╣èis non-lïear for two reasons.
  304.     èèFirst, ê first derivative is raised ë ê third power
  305.     èèå second, y is ê argument ç ê hyperbolic cosïe
  306.     èèfunction.
  307.  12
  308. èèèèè    y»»è+èxy»è+èsecì[x]yè=èeúÄ╣
  309.  
  310.  
  311.         A)èLïear        B)èNon-lïear
  312.  
  313. ü    The coefficients ç ê derivatives are functions ç x å ê
  314.     derivatives are not raised ë any power.èThe right hå side
  315.     is a function x alone.èThus, this is a lïear differential 
  316.     equation.
  317.  
  318. Ç    A
  319.  13
  320. èèèèè    y»»è+èyy»è+èsec║[x]yè=èeúÄ╣
  321.  
  322.  
  323.         A)èLïear        B)èNon-lïear
  324.  
  325. ü    The second term yy» is not ç ê required form å hence this
  326.     is a non-lïear differential equation.
  327.  
  328. Ç    B
  329.  14
  330. èèèèè    y»»è+ètan[y]è=è7xÄ
  331.  
  332.  
  333.         A)èLïear        B)èNon-lïear
  334.  
  335. ü    The second term tan[y] is not ç ê required form å hence 
  336.     this is a non-lïear differential equation.
  337.  
  338. Ç     B
  339.  15
  340. èèèèè    xìy»»è-è3xy»è+èsï[x]yè=ècosh[3x]
  341.  
  342.  
  343.         A)èLïear        B)èNon-lïear
  344.  
  345. ü    The coefficients ç ê derivatives are functions ç x å ê
  346.     derivatives are not raised ë any power.èThe right hå side
  347.     is a function x alone.èThus, this is a lïear differential 
  348.     equation.
  349.  
  350. Ç    A
  351.  
  352.